Коварный процент

Как-то раз я позвонил однокурснику и спросил: «Что получится, если один литр 50%-ной кислоты смещать с двумя литрами 80%-ной?» Товарищ бойко ответил: «Три литра 70%-ной».

И тогда я задал заранее заготовленный вопрос: «А ты в советское время водку пил?» Товарищ смутился. Он все понял - советское время на этикетках водочных бутылок обычно указывалось: крепость 40 объемных процентов (теперь пишут лаконичное 40% об.). То есть я напомнил собеседнику, что проценты можно считать по-разному.

Как правило, концентрацию растворов считают по массе. И, как правило, это не оговаривают. Термин «80%-ная кислота» означает, что масса кислоты составляет 80% от массы смеси. Соответствующее определение есть в школьном учебнике по химии. Если концентрацию считают по-другому, это принято оговаривать (что и делают производители спиртных напитков).

С объемами дело обстоит сложнее. Часто дают такое определение: объемная концентрация — это отношение объема вещества к объему смеси. Но в таком случае возникает вопрос: а как сосчитать, какой объем занимает в растворе та или иная его компонента? Ведь закона сохранения объема не существует! Объем смеси может быть не равен сумме объемов ее компонент. Так что, строго говоря, для вычисления объемного процента следует знать объем растворенного вещества до того, как оно было смешано с растворителем, и сосчитать его отношение к объему смеси. Для вычисления объемных процентов смеси спирта и воды обычно используют специальные приборы, позволяющие определять искомый процент по плотности раствора. Отметим также, что объем смеси, а следовательно, и объемная концентрация меняются с изменением температуры раствора.

При подсчете концентрации по массе подобных трудностей не возникает. Поэтому такое определение концентрации наиболее распространено.

Вроде бы все просто. Но есть специфическая группа наших сограждан — составители задач по математике, — которые, по-видимому, в советское время водку не потребляли, а к изучению химии не относились серьезно. И, как следствие, не подозревают, что при подсчете объемов смесей можно столкнуться с неожиданностями.

Об этом свидетельствует задача из ныне действующего школьного учебника. «Два сосуда были наполнены растворами соли, причем в первом сосуде содержалось на 1 л меньше раствора, чем во втором. Концентрация раствора в первом сосуде — 10%, а во втором — 20%. После того как растворы слили в третий сосуд, получили новый раствор, концентрация которого 16%. Сколько раствора было в каждом сосуде первоначально?» Ответ: «2 ли3 л» (Алгебра. 9-й класс, под ред. С.А.Теляковского. М.: Просвещение, 2014). Судя по ответу, авторы учебника не учли, что растворы разной концентрации имеют различную плотность. Автор этих строк еще в 2003 году опубликовал заметку на эту тему в журнале «Математика в школе», но вышло уже 21-е издание учебника все с той же ошибкой. И этот случай — не исключение.

Подобные задачи в свое время появлялись даже на вступительных экзаменах в солидных вузах. Например, в МГУ на отделении структурной и прикладной лингвистики филфака и в Институте криптографии, связи и информатики Академии ФСБ на факультете прикладной математики. (Задачи приводились в журнале «Квант».) Та же неточность была допущена ив книге авторитетного методиста И.Ф.Шарыгина «Решение задач» (с. 97, задача 145).

Отметим, что всех этих сложностей можно избежать, если количество раствора давать в килограммах. Кстати, так и поступают авторы школьных учебников по химии. Во всяком случае, в этих учебниках подобных небрежностей нам обнаружить не удалось. Казалось бы, практически все, кто в советское время работал в НИИ, за исключением сугубо гуманитарных, должны были узнать на практике, что при смешивании спирта и воды смесь становится теплой и, следовательно, «что-то происходит». А значит, есть основание усомниться в том, что объем смеси будет равен сумме объемов сливаемых растворов. И все-таки даже составители школьных учебников по математике, которых их профессиональная деятельность приучает к точности в малейших деталях, не увидели подводного камня. И это показывает, насколько желательно, чтобы школьники при обучении всем предметам, и химии в том числе, приучались к точности формулировок.

Видимо, следует посоветовать авторам учебников по химии делать их по возможности менее формальными. Например, в данном случае — не только сообщить в качестве определения, что концентрация растворов считается по массе, но и объяснить, какие осложнения возможны при попытках считать по объему. А еще воспользуемся случаем напомнить учителям и преподавателям, да и всем, кто смешивает те или иные растворы, что процент — понятие коварное, поскольку не всегда бывает понятно, как его считают и что принимается за 100%.