Школьный учебник физики как источник физики

Многие уверены: если бы мы знали, почему горшок с петунией подумал именно то, что подумал, мы бы куда глубже понимали природу мироздания.

Дуглас Адамс «Автостопом по Галактике»

Иллюстрация Александра Кука

Школьные учебники физики содержат больше физики, чем кажется на первый взгляд. Чтобы это увидеть, нужно не только скользить глазами по тексту и даже не только все запоминать. Нужно следить за построением, сопоставлять одни утверждения с другими, задавать вопросы. То есть читать учебник пристрастно, как говорят, «работать с текстом». Обратите внимание — не сказано «решать задачи». Потому что задачи бывают разные, и решение традиционных школьных задач не часто способствует пониманию физики.

Пристрастное чтение (филологи говорят «медленное чтение»), сопоставление одних утверждений с другими, имеет следствие — возникновение вопросов. Ответы на некоторые из них вы относительно быстро найдете сами, на некоторые — найдете позже, освоив более мощные методы поиска ответов, физические и математические. Найдете сами или с помощью преподавателей и книг, и удовольствие от этого получите не меньшее.

А на некоторые вопросы… Что касается некоторых вопросов, то вы узнаете, что ответ на них никому не известен. Чтобы было легче заметить эти вопросы, давайте посмотрим…

Чем школьная физика отличается от физики

Вот пять основных отличий.

• Неограниченная применимость модели, закона.

Иногда про ограничение говорится, например, про ограниченную применимость модели идеального газа. Однако не всегда говорится, что всё, с чем мы работаем, — ограниченные модели. Да и конкретные ограничения обычно не указываются. Мне кажется, что эти сведения стоило бы указывать всегда. В идеале должно быть указано, чем ограничена каждая величина и почему.

• Гарантия наличия решения.

Учебник обычно создает впечатление, что проблема решена, модель построена, в процессе и объекте разобрались. Автор учебника исходит из того, что именно этому он должен научить, именно это он должен продемонстрировать. Это же относится к задачам по физике, причем некоторые предположения не оговариваются в условии, а принимаются по традиции; на вопрос ученика «Почему мы пренебрегаем тем-то и тем-то?» приходится отвечать либо «потому что всегда так делают», либо «потому что иначе задачу не решить».

• Гарантия единственности решения.

Имеется в виду не путь решения, а результат, путь решения формально допускается любой. Хотя на практике некоторые преподаватели в школах требуют решать задачи каким-то определенным способом. Но мы всегда верим в то, что решение одно, а это не всегда так.

• Устойчивость решения никогда не проверяется.

Можно придумать задачу, которая всегда имеет решение, но в зависимости от значений какого-то параметра оно будет устойчивым или неустойчивым. Школьник, наверное, разберется, но для этого надо его спросить про устойчивость. Идея, что про устойчивость надо помнить и ее наличие проверять, школе не близка. В школьных задачах такая проверка обычно тривиальна, но ведь есть и другие задачи.

• Заклинания.

Некоторые школьные учебники, желая рассказать о современной физике ближе к концу курса, переходят к рассказу «на пальцах», с использованием терминов, которые слабо связаны с изученным ранее материалом. Это похоже на многие научно-популярные книги; но от учебников мы ждем другого. Правда, последние полгода школьной физики состоят из натаскивания на три неприличные буквы, так что это не имеет большого значения.

И еще одно отличие в качестве бонуса — школьную физику вы должны осилить, а взрослую физику, может быть, сможете, если захотите.

Ограничение точности законов — материал не всегда простой. Если какой-то конкретный закон найден экспериментально, то все просто — каждая входящая в него величина изменялась в каких-то пределах и ее измеряли с какой-то точностью, которая известна. Да, но от чего зависела эта точность? Точность закона всемирного тяготения, найденного Генри Кавендишем, была связана с точностью соблюдения закона Гука для сдвигового напряжения (о законе Гука мы еще поговорим).

Функции, стремящиеся к нулю на бесконечности

В учебнике есть несколько функций, которые, как говорят, на бесконечности стремятся к нулю. Рассмотрим сначала ситуации, когда на оси абсцисс отложено время. Но существует ли бесконечное время? По современным взглядам скорее, что нет. И тогда изучаемая функция должна быть другой — потому что со временем изменится все, что сделало возможным написание исследуемого уравнения. Даже если процесс длится миллиард лет в соответствии с написанным уравнением, без каких-либо отклонений, а потом — бац! — и Вселенная исчезает, то искомая функция исчезает вместе со Вселенной. То есть все равно изменяется.

Если мы не только рассказываем об этой функции «на пальцах» и рисуем ее на доске, но и пишем уравнение, то это уравнение непрерывной функции — а непрерывен или дискретен объект? Простейшая ситуация, когда объект заведомо дискретен, — радиоактивный распад. Нам дают 4096 атомов изотопа ⁶⁴Cu с периодом полураспада 12,7 часа и, улыбаясь, спрашивают, сколько атомов останется через 12,7·13=165,1 часа?

Вы, наверное, уже поняли, в чем прикол. Для больших (в смысле этой задачи) времен применение «непрерывного» языка приводит к очевидной глупости — не целым атомам. Значит, надо переходить на вероятностный язык. Тогда ответ будет звучать так: примерно в половине случаев останется один атом, примерно в половине — ни одного и реже — более одного. Вообще любой поток материальных частиц, распространяющийся в среде и ослабевающий с расстоянием, поначалу можно описывать непрерывным языком, но потом нам неизбежно придется перейти на язык вероятностей.

Некоторые физические величины могут принимать только дискретные значения, например заряд. Поэтому если присоединить заряженный конденсатор к сопротивлению и написать зависимость заряда конденсатора от времени, то через некоторое время у нас заряд окажется менее заряда электрона. Например, если конденсатор емкостью 1 Ф зарядить до напряжения 1 В и замкнуть на сопротивление 1 Ом, то примерно через 42 с это и произойдет, потому что постоянная времени нашей цепи 1 с и за каждую секунду заряд падает в е=2,718 раза.

Почему мы обычно не обращаем на это внимания? Почему в этих и во многих других физических ситуациях мы не обращаем внимания на некоторые сделанные нами предположения? Потому что при решении практических задач сделанные приближения всегда оправдывались, и мы к этому привыкли. В такой ситуации есть две опасности. Во-первых, мы привыкаем пользоваться некоторой схемой рассуждений, которая была выработана давно, не нами, и на определенном материале. Но физика со временем расширяет область своей деятельности — как по объектам, так и по эффектам, и вполне возможно, что обнаружится ситуация, когда какое-то из традиционных допущений не оправдывается. Когда какая-то из традиционных схем не срабатывает. Поэтому имеет смысл помнить, что за любой формулой стоят какие-то допущения. И иногда задумываться — не вышли ли мы за область их применимости? Разумеется, это нужно при серьезной работе, но научить этой осторожности можно и в школе.

Заметим, что ситуации, когда в ходе некоторого процесса количество объектов сначала «много больше одного», а потом уменьшается до единиц, причем так, что имеет смысл менять язык описания, не уникальна.

В физике, кроме радиоактивного распада, подобная ситуация может встретиться при исследовании испарения кластеров и наночастиц. Это может произойти и не в физике, например, в биологии и этнографии (вымирание), в социологии (исследование социальных лифтов).

Физика, даже имея дело с отдельными элементарными частицами, атомами или молекулами, считает, что эти объекты одинаковы. Однако некоторые параметры даже одинаковых объектов могут различаться, например энергия. При исследовании космических лучей экстремальной энергии физики отчасти наделяют частицы индивидуальностью — присваивают им имена собственные и вообще в физике заметно некоторое движение в сторону изучения уникальных объектов («Химия и жизнь» 2019 №4).

На случай, если вам захочется исследовать какие-то ситуации с малым числом объектов, назовем несколько. Самый простой пример — испарение и термоэлектронная эмиссия. Оба эффекта экспоненциально зависят от температуры, так что при понижении температуры естественно приходим к испарению отдельных атомов или, соответственно, электронов. Что касается единичных квантов, то их фиксация электронным прибором возможна — спросите интернет «режим счета фотонов». Клетки сетчатки глаза реагируют, скорее всего, на единичные фотоны, но глаз использует не все попадающие на него фотоны. Кроме того, для борьбы с шумами и флуктуациями мозг реагирует, если за некоторый малый интервал времени кванты попали в несколько клеток. Причем эта обработка производится, скорее всего, в глазу; этот вопрос не слишком хорошо исследован. В итоге для того, чтобы мы увидели короткий импульс, нужно несколько десятков фотонов, а в непрерывном режиме нужен поток в сотни фотонов в секунду. Конкретная цифра, естественно, сильно зависит от условий эксперимента и требуемой надежности.

Флуктуации и шум — еще один из факторов ограничения моделей, в которых функция стремится к нулю. Когда вычисленные значения становятся меньше уровня шумов, вычисленная функция перестает описывать реальность. Например, для ситуации, которая рассмотрена выше, при сопротивлении 1 Ом, температуре 300 К и полосе частот 1 МГц напряжение шумов получается 0,14 мкВ (формулы Найквиста нет в школе). Разность потенциалов, оставшаяся на конденсаторе к указанному выше моменту, будет 1,6·10^–19 В, то есть шумы будут на много порядков больше.

Называют их, между прочим, тепловыми шумами — потому, что они связаны с тепловым движением носителей заряда, электронов. Но у температуры есть и свои флуктуации. Если взять два тела и поместить их в калориметр, то их температуры будут сближаться. Разность температур со временем должна стремиться к нулю, но она потонет во флуктуациях.

Есть множество случаев, когда функция, уменьшаясь, тонет не в шумах и флуктуациях, а переходит в какую-то другую зависимость, связанную с другими физическими эффектами. Барометрическая формула для плотности атмосферы должна как-то переходить в межпланетный газ, а межпланетный газ должен как-то переходить в межзвездный. Разумеется, они это делают, но это серьезная физика, со своей историей и своими новыми — полученными, можно сказать, при нас — результатами.

Следующая причина для плохого поведения функций, стремящихся к нулю при неограниченном возрастании абсциссы, — ограничение значений аргумента. Это ведь не обязательно время, это может быть энергия, например функция распределения молекул в газе по скоростям и энергиям. Судя по формуле, скорости и энергии ничем не ограничены, но даже школьник может спросить, как там насчет скорости света? Кстати, в какой-то книжке я видел замечание, что энергия одной молекулы не может быть больше суммарной энергии молекул в некотором объеме. Идея красивая, но это ограничение действует только в изолированной системе.

Нуль в знаменателе и другие странности

У Менделеева и его подельника Клапейрона в знаменателе температура, но любой школьник скажет, что по мере охлаждения любой газ перестанет быть газом, а сильно продвинутый добавит, что абсолютный нуль вообще недостижим, так что все в порядке.

Некоторые школьные формулы спокойно живут, имея в знаменателе величину, которая вроде бы ничем не ограничена снизу. Например, формулы для напряженности и потенциала электрического поля имеют в знаменателе расстояние, и рядом несколько раз повторяется выражение «точечный заряд». Вроде бы получается, что одиночный электрон имеет бесконечную энергию.

Вообще слово «точка» лучше бы оставить математикам. Ибо, прикладывая силу в точке (а все школьники делают это), мы создаем бесконечные механические напряжения, которые даже без помощи Волан-де-Морта разрушают любой материал. Так что центр тяжести должен был бы вывалиться у нас между ног и полететь к центру Земли, а мы сами — полететь вверх и стукнуться головой о потолок. Не пугайтесь — скорость на подлете можно оценить, она получается небольшой.

Рядом с нулями часто обитают бесконечности, например если согласиться, что время соударения нуль, то мы опять имеем бесконечные механические напряжения. Кстати, с соударениями вообще есть проблемы — если считать, что звук удара создается упругой волной в материале соударяющихся тел, то для его частоты получаются не реальные значения (Квант, 2022, № 11–12, с. 42).

Некоторые физические законы в том виде, в котором мы их используем, являются упрощением. Иногда это не влечет каких-либо серьезных последствий, например зависимость удельного сопротивления металла от температуры при его нагреве мы часто считаем линейной. Это упрощение, но ничего страшного (особенно, если не рассматривать низкие температуры) от этого не происходит. Сложнее ситуация с законом Гука.

Деформация упруга, зависимость деформации от силы на пути туда и обратно одинаковы, значит, работа, вкладываемая в деформацию, вся может быть извлечена на обратном пути. Это простенькое рассуждение противоречит — не упадите в обморок — закону сохранения энергии. Дело в том, что пружины при работе греются. Спешу вас обрадовать — с энергией все в порядке, сложности есть у Гука, причем в начале координат (Письма в ЖТФ, 1999, № 17, с. 29 и 2018, № 15, с. 80).

И вообще, любое упрощение, которое хорошо себя зарекомендовало, может отказать. Чаще всего это происходит либо при расширении области значений величин, которые мы используем, либо при увеличении точности измерений. Именно поэтому в самом начале было сказано, что сведения об ограничениях стоило бы указывать всегда. А в идеале должно быть указано, чем ограничена каждая величина и почему возникло такое ограничение.

Но пока мы далеки от идеала. Но это не мешает рассказывать об этих сложностях нашим ученикам.