О течении котов

1. На коротких промежутках времени кошка ведет себя как твердое тело, на более значительных — как жидкость. Или даже газ

Оказывается, эта мысль завладела умами не только простых наблюдателей за кошачьей пластикой, но и ученых. Марк-Антуан Фарден, французский физик из университета в Лионе, прислал статью под названием «On the rheology of cats» — «О реологии кошек» в специализированный научный журнал «Rheology Bulletin» (2014, 83, 2, 16).

Реология — наука о течении веществ. Как напоминает автор статьи, ее девизом могло бы стать гераклитовское «Все течет!». Состояния вещества спокон веку различают по поведению их заметных количеств: в твердом состоянии тело сохраняет объем и форму, в жидком сохраняет объем, но принимает форму сосуда, в газообразном — заполняет весь доступный объем. Недавно в рамках такой классификации уже было обнародовано наблюдение «15 доказательств того, что кошки — это жидкости» (http://www.boredpanda.com/cats-are-liquids/), а Фарден поставил перед собой задачу показать методами современной реологии, что это утверждение верно.

Главная идея реологии — понимание, что состояние вещества зависит от времени. Те явления, которые мы описываем словами «сохраняет», «принимает» и «заполняет» (форму и объем), описываются строго математически. Поэтому в статье много формул, разобраться в которых не так-то просто.

Основная переменная — это время: время наблюдения T и время релаксации t, за которое с объектом происходит что-то интересное для нас; в нашем случае время, за которое объект принимает форму сосуда, иными словами, успокаивается. Из соотношения времени релаксации t и времени наблюдения T выводится «число Деборы» De: De = τ/T. Важно, что оно безразмерное: оба времени можно измерять в секундах, можно в часах, но их отношение будет одинаковым. Число это названо в честь древнееврейской пророчицы и воительницы XI века до нашей эры. В ее песне в честь победы над врагами есть слова: «и горы растекались пред лицом Господа» (в синодальном переводе «горы таяли от лица Господа»). То есть с точки зрения огромных времен, доступных Создателю, горы — всего лишь жидкость.

Обычно T— это просто длительность наблюдения. Соответственно для газа t — это время заполнения газом пустого сосуда, и для привычных нам времен De << 1, то есть «за время наблюдения газ успевает заполнить сосуд и окончательно успокоиться». Аналогично для жидкости t— это время успокоения жидкости, залитой в сосуд, и De << 1 снова означает «за время наблюдения жидкость успевает принять форму сосуда и окончательно успокоиться». Зато твердые тела вообще не меняют форму, если на них не давить, соответственно, для доступных нам времен наблюдения De >> 1. Оказывается, что если рассматривать газ или жидкость на очень малых временах T, так, что De >> 1, — их можно и нужно рассматривать как твердое тело: «за время наблюдения объект не успевает сколько-нибудь изменить форму, значит, его следует считать твердым». Напомним, что любой поток любого вещества — это последовательность деформаций.

При разных значениях числа Деборы одна и та же кошка может предстать и твердым телом, и жидкостью. На рис. 1a видно, что для De >> 1 кошка предстает твердым телом, зато на рис. 1b De << 1, и кошка выглядит как жидкость. Примерно зная время наблюдения T, мы можем оценить время релаксации t от 1 с до 1 мин для кошек среднего возраста. Для кошек постарше время релаксации может быть короче, тогда как совсем юные экземпляры могут не успокаиваться и по нескольку часов. Пожилые кошки могут вообще занимать весь отведенный объем подобно газу (рис.1 b-d). Но доказательство того, что пожилые кошки превращаются в газ, выходит за рамки данной статьи.

Итак, число Деборы — это безразмерное выражение одной из главных для реологии идей — вязкоупругости. Чем больше число Деборы, тем более твердым/упругим будет наш объект; чем меньше — тем более жидким/текучим. Реология рассматривает только два состояния: твердое, которое деформируется, и жидкое/газообразное, которое течет.

Для сложных текучих веществ характерное время t может определяться множеством факторов, в том числе химией и биологией объекта. Автор рассматривает с точки зрения реологии протекание кошек по трубам, их растяжение в продольном и поперечном направлении, возможное влияние на это котооталкивающих и котопритягивающих материалов поверхностей. Как ни странно, земное тяготение усиливает зацепление кошек за котопритягивающие поверхности.

Обсуждается также вопрос о возникновении неустойчивости течения кошек при высоких скоростях. В линейной модели связь проста: если число Деборы много меньше единицы — объект текуч. Однако нелинейная теория предсказывает, что при скорости течения (или деформации) выше некоторого значения поток неизбежно становится нестабильным и хаотичным.

Этот процесс описывает число Рейнольдса:

Re = τ/t,

где t — время деформации нашего объекта, примерно «время, за которое расстояние между двумя близкими частицами в потоке изменится в два раза». Пока скорость потока мала и Re << 1, поток течет плавно и ровно (ламинарно). При больших скоростях и Re >> 1 поток непрерывно бурлит и перемешивается, то есть становится турбулентным.

Остается вопрос: склонны ли кошки к нестабильности потока при росте Re? Проблема в том, что, даже если мы знаем характерное время t, посчитать время деформации t не так просто, поскольку кошка — активный объект. Как и другие биологические объекты — колонии бактерий, косяки рыб, стада овец, толпы школьников и т. п., — они склонны к спонтанному закручиванию; это явление можно наблюдать каждый раз, когда кошка пытается поймать собственный хвост.

В процессе подготовки статьи ни одно животное не пострадало.

2. На реологические характеристики кошки могут оказывать влияние различные факторы: a– воздействие капиллярных сил; b— большой контактный угол с суперкотофобной поверхностью; c— помещение котенка в банку демонстрирует предельное напряжение; d— распространение кошки по крайне неровной поверхности; e— низкая аффинность кошки к воде; f— растекание кошки по гладкому полу; g— адгезия кошки к вертикальной стене

Комментарий специалиста

В школе учат, что есть три состояния вещества — твердое, жидкое и газообразное. Казалось бы, это очевидно. Однако на самом деле природа устроена сложнее. Все хозяйки знают, что «в хорошей сметане ложка стоит». Но сметана вроде бы жидкость, а в жидкости ложка стоять не должна. А краски? Художники наносят краску на холст и размазывают ее по поверхности, что возможно, поскольку краска жидкая ив процессе приготовления ингредиенты легко перемешиваются, как полагается жидкостям. Но почему же она не стекает с поверхности, как вода? А если вы красите забор, как герой Марка Твена, то стекает, но только до определенного предела. Так жидкость ли краска?

И уж совсем очевидный случай: что может быть более твердым телом, чем металлы? Но вспомним, какие потрясающей тонкости и красоты рельефы и скульптуры изготавливали мастера из различных металлов, причем не литьем, а штамповкой и гравировкой. А как путем протяжки через фильеры и волочения из толстой проволоки получаются тончайшие нити с микронным диаметром. Все это результат пластических (то есть необратимых) деформаций, которые, по существу, и есть течение — течение твердых материалов.

Сто лет назад американский исследователь Юджин Бингэм (E.S. Bingham) опубликовал статью, в которой было четко сформулировано понятие о вязкопластичности: нет жидкого или твердого состояния, а есть жидкоподобное или твердоподобное поведение. А как ведет себя вещество, зависит от многого. В случае вязкопластичных материалов — от величины нагрузки. А в других случаях, например вязкоупругих сред, — от времени наблюдения или длительности действия нагрузки.

Так что 1916 год — можно считать датой рождения новой науки, реологии (от греческих корней «рео» — течь и «логос» — смысл, закон), предмет которой как раз состоит в изучении свойств и поведения таких «промежуточных» сред, ведущих себя по-разному в зависимости от внешних факторов.

Был ли Бингэм первым? Конечно, нет. Как-то уже упомянутый Марк Твен сказал: «Хорошо было Адаму, если он говорил, то наверняка был первым». А после Адама —у всех и всегда были предшественники.

И библейская пророчица Дебора говорила о течении гор перед лицом Творца. И старые мастера создавали произведения искусства и оружие дамасскую сталь) пластическими деформациями металлов, не зная реологии. И классики естествознания, например лорд Кельвин и Максвелл, упоминали о сочетании свойств жидкости и твердого тела. И одесский физикохимик Ф.Н.Шведов в 1890 году описал эффекты, связанные с вязкопластичностью.

Но, пожалуй, все же именно Бингэм создал парадигму, которая послужила толчком к созданию и развитию новой науки. Сегодня в мире существуют десятки лабораторий, специализирующихся именно в этой области, издаются не менее четырех общепризнанных международных журналов, публикующих статьи по реологии, выпускаются многотомные монографии. Реологический подход нашел практическое применение во многих областях техники: переработке полимерных материалов, добыче и перекачке нефти, создании смазочных материалов и технологии продуктов пищевой, косметической и фармакологической отраслей промышленности.

В терминах реологии можно удачно описывать (в шутку и всерьез) многие явления: от движения оползней и ледников с гор до поведения кошек. И приводимая выше статья — удачный пример такого подхода.

Главный научный сотрудник РАН,

доктор физико-математических наук

А.Я.Малкин

Литература

А.Я.Малкин, А.Исаев. Реология: Концепции, Методы, Приложения.

2-е изд. СПб., «Профессия», 2010.