Музыка и физика пилы

Многие видели игру на этом экзотическом музыкальном инструменте, называвшемся когда-то скрипкой плотников. Сейчас музыканты активно возрождают это занятие, утратившее было свою популярность. Массово же оно появилось в разных местах планеты, от Америки до Китая, вместе с распространением дешевой гибкой стали два столетия назад.

Расцвета музыка пилы достигла на водевильных сценах начала прошлого века. Звучала она и в храмах переселенцев, не имевших других музыкальных инструментов, и на народных праздниках многих стран мира.

В умелых руках пила поет не хуже скрипки или виолончели. Но профессионально играть на ней умеют немногие. Для этого, как и для всех смычковых, необходимы абсолютный слух и годы упорного труда. Сегодня желающие могут насладиться различными стилями лучших «пильщиков» планеты на Ютубе. Здесь есть и попса, и фольклор, и даже классика в сопровождении симфонических оркестров.

Инструмент представляет собой удлиненную ножовку треугольной формы, конечно, без зубьев. Ее рукоять сидящий музыкант зажимает между ног, левой рукой сильно отклоняет ее влево и, что важно, изгибает ее кончик вверх относительно всего полотна. Для этого на конце пилы иногда крепят маленькую ручку. Правая рука вертикально перемещает смычок по краю полотна. Таким образом, если смотреть со стороны музыканта, форма готовой к игре пилы выглядит как буква S.

Именно данный факт — причина музыкального звучания экзотического инструмента. Это в недавней работе показали ученые из Гарвардской школы инженерных и прикладных наук и факультета физики Гарвардского университета. Под руководством профессора Лакшминараянана Махадевана (Lakshminarayanan Mahadevan) они построили математическую модель звука изогнутой пластины, рассчитали ее на компьютере и проверили экспериментально.

Авторы работы решали задачу математической физики о том, как геометрия и топология упругой изогнутой пластины, например металлической, влияет на набор и длительность затухания акустических колебаний в ней, то есть на ее тоны. Они установили, что ключом служит изменение знака геометрической кривизны поверхности пластины. Например, кривизна буквы S меняет знак в центре ее симметрии.

Физическое объяснение таково. Если ударить по плоскому упругому листу, то он вибрирует целиком, а энергия его колебаний быстро уходит через поддерживающие его предметы. То же самое случится с изогнутой поверхностью одного знака кривизны, к примеру в форме буквы J. Однако для листа S-кривизны будет вибрировать только его малая область вблизи области смены кривизны.

Эти колебания, которые физики называют локализованными колебательными модами, почти не теряют энергию и дают длительные и неизменные тона звучания. Равенство размеров двух полукружий буквы S роли не играет, важна лишь топология. Поэтому теория применима для широкого класса форм резонаторов, удовлетворяющих критерию.

Интересно, что к пониманию физики процесса ученых привела математическая аналогия задачи с квантовыми явлениями в топологических изоляторах. Эти материалы планируют применять для квантовых вычислений. Они проводят электричество вблизи своих границ и контактов, у которых локализованы носители тока. Область перемены кривизны в этой аналогии служит «внутренней» границей упругой пластины.

Интересно, что явление генерации звука одинаково в пластинах макро-, микро- и даже наноразмеров. Изученные процессы не зависят и от материала резонатора. Им могут стать металл, стекло, полупроводниковая пленка, даже графен. Ученые выяснили условия создания высококачественных резонаторов для сенсорных систем, наноэлектроники, фотоники и пр. Результаты работы выходят далеко за рамки темы, вынесенной в заголовок. Пила — лишь одно из приложений универсальной математики авторов. Сейчас они работают над математическим описанием локализованных вибраций для более сложных топологических форм, например — колоколов.

(Proceedings of the National Academy of Sciences, 119 (17), 2022)