Сказ о погрешностях

Существует лишь то, что можно измерить.

Макс Планк

Некоторые люди — за последние годы их количество в России сильно уменьшилось — понимают, что их знание неточно. Можно предположить, что точным наше знание вообще может быть только при дискретной шкале. Нетрудно дать верный ответ на вопрос, сколько шариков в мешке, но их точный вес неизвестен. Можно точно знать, какая оценка получена на экзамене, но нельзя — какие знания были в голове во время экзамена.

Это тривиально, но от тривиального до непостижимого (что в жизни, что в физике) один шаг. Как оценить точность наших знаний? Если мы знаем точное значение — это легко, но в реальной ситуации точного значения мы обычно не знаем, и не факт, что оно вообще существует. Что, если реальная величина слегка изменяется со временем, а мы, производя измерения на коротком интервале и с ограниченной точностью, просто этого не замечаем? Что такое в этом случае «точное значение»?

Поэтому, употребляя всуе слово «точность» и рассуждая на эту тему, надо понимать некоторую условность всех этих рассуждений. Тем не менее физики и инженеры, занимаясь измерениями, не вдаются в философию — потому что за каждым их действием стоят огромный (во многих случаях вековой) опыт и накопленная информация.

Например, в большинстве книг говорится, что любое измерение нужно повторять многократно. Однако на практике большинство измерений делается один раз, если за спиной измерителя стоит опыт. Измеряя напряжение в сети надежным вольтметром, мы получаем 225 вольт, и нам и в голову не приходит перемерять. Потому что мы прекрасно знаем, что должно быть немного меньше 230, и примерно знаем, сколько в какое время суток.

Какова реальная тактика повторения измерений, когда человек решает, что измерения надо повторить? А проделать третий раз? Когда он начинает подозревать зависимость от времени? Какие гипотезы клубятся в его голове и как это влияет на его дальнейшие действия? К статистической обработке данных это не имеет отношения — какая статистика, когда измерений всего, например, три. Это имеет отношение к опыту и психологии исследователя.

Многократное повторение измерений — вообще не панацея, потому что оно может сильно искажать результаты, если само измерение влияет на объект. Например, социологи считают, что человека нельзя слишком часто опрашивать, к тому же в качестве необходимого зазора называют сроки до полугода. Видимо, считается, что серьезная анкета вопросов на сто пятьдесят — это такая нагрузка, что повторный опрос на любую тему будет искажен раздражением. С другой стороны, психологи считают повторение результатов теста важным признаком его релевантности. Как это совместить с ограничением на повторы? Какие-то рекомендации на эту тему у социологов есть, но они весьма фрагментарные и у разных социологов разные.

Обычно различают погрешность, вызванную объективными обстоятельствами, и ошибку, вызванную субъективными обстоятельствами. Это деление условно: скажем, субъективное дрожание рук, увеличивающее ошибку, бывает вызвано объективными причинами (недосыпанием или расстройством желудка), его параметры поддаются измерению и управлению. Другой пример — при визуальном определении момента прохождения звезды через меридиан объективно существует индивидуальная погрешность, так называемая «личная разность».

Когда мы что-то измеряем, то к началу измерений у нас есть модель объекта. В некоторых случаях мы знаем, что это упрощение, и идем на него, если нам не нужна высокая точность. В иных случаях мы не знаем этого и работаем с простой моделью, пока не наткнемся на противоречие. Вот пример исключения параметра при упрощении модели. Мы измеряем диаметр цилиндра и не проверяем эллиптичность, отклонения от цилиндричности. Потому что знаем: на этом оборудовании и в этом техпроцессе получаются такие цилиндрики, что для дальнейшего применения нужно контролировать диаметр и не нужно — эллиптичность. Но в другой ситуации может оказаться иначе.

Выбирая обувь и одежду, мы ориентируемся на размеры — и все же примерка необходима. Это означает, что система размеров разработана плохо? Однако при большом количестве параметров изготовитель не смог бы обеспечить все варианты или не справился бы продавец: при двух параметрах ему надо иметь в продаже десятки размеров для каждой модели, при трех — сотни. Но более детальное описание сократило бы время на поиск нужного — поэтому система размеров одежды, вероятно, будет совершенствоваться.

Попробуем перечислить источники погрешностей. Погрешность модели: мы описываем явление или объект в соответствии с каким-то нашим пониманием и вычисляем параметры в рамках этой модели, а объект или явление устроены сложнее. Например, мы хотим изучить температурную зависимость сопротивления проводника или размеров образца, то есть определить температурный коэффициент сопротивления или расширения. Все замечательно, но эти зависимости нелинейны, и, аппроксимируя их прямой, мы уже делаем ошибку.

Частый вариант методической погрешности — влияние прибора на объект. В некоторых случаях это влияние настолько сильно, что разрушает или повреждает объект, поэтому в технике есть термин: «неразрушающие измерения». В принципе возможна и ситуация, когда прибор влияет на объект так, что искажение данного измерения невелико, но будут искажены последующие измерения.

Погрешность метода: модель-то наша правильная, но мы не учитываем какого-то фактора или какого-то влияния на учитываемый фактор. Например, идя по мокрым следам великого Архимеда, мы хотим сделать простенький пробирный анализ взвешиванием сплава Au+Ag в жидкости и на воздухе. При этом, как обычно, пренебрегаем плотностью воздуха, зависимостью плотности воды от температуры, пузырьками воздуха и объемом нитки. Погрешность инструментальная — собственно погрешность прибора (весов, если продолжать предыдущий пример). Затем погрешность оператора — неправильный отсчет, неправильная фиксация данных, пропуск отсчета при периодических измерениях. Сюда же — возможные ошибки от предубеждения.

Условия измерения можно разделить на две группы. Первая группа — это другие параметры объекта или сигнала. Например, вольтметр предназначен для измерения переменного напряжения частоты 45—55 герц синусоидальной формы. При выходе частоты за эти пределы или при существенном отклонении формы от синусоидальной возникает дополнительная погрешность. Вторая группа внешних условий — это «настоящие» внешние условия: температура, давление, влажность, освещенность. Они тоже могут влиять на результаты измерений, и в мануалах обычно оговорено, в каких условиях должны вестись измерения и какова будет дополнительная погрешность.

Специфический вид погрешностей возникает при уменьшении времени, отведенного на измерение, например при увеличении частоты измерений. Прибор, всегда имеющий ограничение по времени реакции хотя бы на принципиальном уровне (он должен получить информацию), может не успеть правильно измерить. Эти погрешности называются динамическими. Есть, например, понятие постоянной времени для самописца — и если спектр с острыми пиками записывать быстро, их интенсивность снизится.

Главное деление погрешностей — это деление на систематические и случайные. Смысл кажется вполне понятным из названий, однако на самом деле он непонятен. Если верить физике, то истинно случайное — это область действия квантовых закономерностей, от обычной метрологии это достаточно далеко (хотя эталоны все больше становятся квантовыми). На практике случайными считаются погрешности, причина которых нам неясна. Отчасти это действительно так, но важно еще то, что у погрешностей, называемых нами случайными, обычно много сравнимых по мощности причин, действующих независимо. Это неслучайно — если бы какая-то причина преобладала, мы бы ее раскусили и объявили систематической. А если причин много и они сравнимы и независимы, то формируется определенная картина: распределение погрешностей подчиняется так называемому нормальному распределению, симметричной функции колоколообразной формы. Симметричность позволяет путем вычисления среднего от многократных измерений уменьшать погрешность, а знание функции распределения позволяет оценить достижимую точность. Именно в этом случае целесообразно проделать много измерений.