Дефекты плоского мира

Если себя назовешь,

     скажем, Маруки Хераки,

К полке с романом твоим

     люди быстрей побегут.

Вадим Степанцов. Авторы культовых книг

Нобелевскую премию по физике в 2016 году присудили трем исследователям из США: одна половина досталась Дэвиду Таулесу из  Вашингтонского университета в Сиэтле и его ученику Майклу Костерлицу из Университета Брауна в Провиденсе, вторая — тому же Таулесу и Дункану Холдейну из Принстонского университета. Поводом стали их теоретические работы, позволившие разобраться в том, что с легкой руки Таулеса — Костерлица получило название «топологический фазовый переход» применительно к физике твердого тела, а затем было обобщено в виде «топологических форм материи» на широкий круг явлений вплоть до космологии. Понятие это весьма многогранно, лауреаты разрабатывали проблему с разных сторон, но Таулес преуспел сразу в двух направлениях, что, видимо, и объясняет выбранный комитетом способ распределения премии.

О пользе разочарования

По крайней мере один из лауреатов — Майкл Костерлиц — получил свою премию в значительной мере благодаря случайности. Вот как он сам рассказывает об обстоятельствах, которые привели его в лабораторию учителя («Reports on Progress in Physics». 2016, 79, 026001; doi: 10.1088/0034­4885/79/2/026001).

«1970 год застал меня в должности постдока туринского Института теоретической физики. Я всегда был и остаюсь человеком крайне неорганизованным, который откладывает до самого последнего момента и даже дольше для того, чтобы сделать что­то важное, например отправить свое резюме будущему работодателю. В результате в сентябре 1970 года я обнаружил себя на кафедре математической физики Бирмингемского университета, тогда как думал оказаться в ЦЕРНе. За первый год я провел несколько сложных вычислений в рамках модели, которая была предшественницей теории струн, но коллеги из США всегда меня опережали. По крайней мере дважды во время написания статьи о своих результатах я обнаруживал эти результаты в свежем препринте, оказавшемся в нашей лаборатории. Разочарованный всем этим, я стал искать какую­нибудь другую область физики, способную дать наглядные, но при этом интересные результаты, и однажды разговорился с Дэвидом Таулесом о странных возбуждениях — вихрях в пленках сверхтекучего гелия­4 и доменных стенках в модели магнетизма Изинга. (В этой модели элементарные магниты расположены в узлах решетки, каждому приписано одно из двух направлений спина, а исследователь смотрит, при каких обстоятельствах возникнет порядок в расположении направлений спинов из исходного беспорядка, то есть пройдет фазовое превращение. Поскольку упорядочение начинается одновременно в разных участках, в одном все спины могут оказаться направлены, условно, «вверх», а в соседнем – «вниз». Между ними возникнет дефект — граница или доменная стенка, на протяжении которой спины ориентированы в промежуточных направлениях. — Примеч. ред.) Так мне открылся мир физики твердого тела, где, на мой неискушенный взгляд, имелось множество нерешенных физических проблем. В этом огромный контраст с физикой высоких энергий, где число интересных проблем можно пересчитать по пальцам и над каждой работает несколько совсем не глупых людей. Была одна сложность — мое полное незнание статистической механики, которую я по большому счету игнорировал, когда изучал физику высоких энергий. Меня предупреждали, что с Дэвидом мне будет нелегко, поскольку он не прощает глупостей. Так как про фазовые превращения я ничего, кроме глупостей, говорить не мог ввиду полного незнания, я сильно нервничал, выслушивая идеи Дэвида о проблемах низких размерностей в фазовых превращениях. А он объяснял мне, как обсуждал с Филом Андерсоном (который в это время занимался спиновыми стеклами, то есть состояниями магнитной системы со случайными спин­спиновыми взаимодействиями. — Примеч. ред.) фазовое превращение в одномерной изинговской цепочке с взаимодействием между спинами, спадающим как квадрат расстояния. Сам Дэвид как раз накануне показал, что в такой системе возможно фазовое превращение с необычными свойствами. Наши разговоры познакомили меня с новой концепцией топологических дефектов, таких, как вихри в гелии­4, и их ролью в разупорядочении системы. Поскольку я смотрел на проблему с позиции полного незнания, такой подход казался мне ничуть не более странным, чем любые другие идеи, касающиеся фазовых превращений. Фактически он был даже более обнадеживающим, чем многие другие, которые потерпели неудачу при столкновении с подобными слаборешаемыми проблемами. В одномерной модели Изинга топологический дефект очень легко представить — это доменная стенка, разделяющая области с противоположными направлениями спина расположенных в ней магнитов. Было совсем не трудно переписать уравнения для системы взаимодействующих стенок, которые живут на цепочке, сопряженной с исходной цепочкой элементарных магнитов. Дэвид дал мне пяток работ Андерсона и его коллег, предложив просмотреть их для моей же пользы. Я полгода только и делал, что читал и перечитывал эти статьи, пока наконец не понял, что они делают и что это весьма странный способ».

Двумерное несогласие

Суть загадок, о которых пишет Костерлиц, такова. Давным­давно, в 1935—1937 годах, Л.Д.Ландау, а так же его друг Рудольф Пайерлс — а это прославленный британский физик, который приложил  руку к созданию атомной бомбы, а потом боролся за мир в Пагоушском движении; в 1988 году его избрали иностранным членом АН СССР, — одним словом, два непререкаемых авторитета, отцы­основатели современной науки, математически показали, что двумерный кристалл невозможен. Позже многие теоретики обращались к этой проблеме и получали все тот же неизбежный результат: дальнего порядка в двумерном случае быть не может, поскольку флуктуации параметра порядка неограниченно возрастают с ростом размера двумерного объекта. Если речь идет просто о расположении атомов в пространстве, то они в тонкой пленке не могут сформировать кристаллическую решетку, поскольку тепловые колебания — фононы — с большой длиной волны этот порядок неизбежно разрушат. Если же взять другой важный случай — пленку из ферромагнетика, то в ней дальний порядок в ориентации спинов атомов разрушат спиновые волны и пленка не станет магнитом. Невозможна и сверхтекучесть в тонкой пленке, и сверхпроводимость. Поверить в этот вывод было невозможно, мысль, что переход от трехмерного мира к плоскому ведет к столь радикальным изменениям, противоречит здравому смыслу, но с математическими формулами не поспоришь. Кстати, когда Гейм и Новоселов получили­таки двумерный кристалл — знаменитый графен — пришлось немало потрудиться, чтобы объяснить удивительный факт наличия у него дальнего порядка. Выход нашли такой: на самом деле порядок не столь уж и дальний, кристалл графена разбит на фрагменты, в которых решетки несколько разориентированы относительно друг друга. Из­за этого возникают напряжения и лист графена вспучивается  — он не плоский, а изогнутый, состоит из холмов и ложбин.

Но еще задолго до графена некоторые экспериментаторы не смирились с приговором теоретиков и ставили прецизионные опыты с различными двумерными объектами, как реальными, так и виртуальными. И действительно стали находить в их поведении странности, противоречащие теореме Ландау — Пайерлса: при сверхнизких температурах один за другим возникали признаки каких­то фазовых превращений в тонких пленках: то магнитные свойства менялись без видимых причин, то в компьютере математическая модель тонкой пленки из твердых дисков начинала плавиться. В 1969 году обнаружили и реальную сверхтекучесть в тонкой пленке гелия­4. Значит, какой­то порядок в тонкой пленке обязан быть — но теоретики ее запрещают.

На ферромагнитной нанотрубке доменная стенка очень стабильна — ее способны разрушить пары вихрь­антивихрь, но они появляются, если диаметр нанотрубки меньше критического. Стабильная стенка может двигаться со скоростью, превышающей скорость спиновых волн, из­за чего, вследствие эффекта Черенкова, начинает такие волны генерировать («Applied Physics Letters», 2011, 99, 122505)

Парная сила

Эта загадка твердого тела, казалось бы изученного вдоль и поперек, не давала спать многим теоретикам. И выход был найден. Статью об этом Таулес с Костерлицем опубликовали в 1973 году («Journal of Physics C: Solid State Physics», 1973, 6, 1181—1203). За основу в своих рассуждениях они взяли достаточно экзотическую дислокационную модель плавления твердого тела. Согласно ей между жидким и твердым состояниями имеется некое промежуточное, когда кристалл уже так испорчен дефектами, что найти в нем дальний порядок можно лишь при большой фантазии, но все­таки он еще сохраняет жесткость, и поэтому жидкостью его назвать нельзя. Главным действующим лицом здесь оказывается дислокация — линейный дефект кристаллического строения, нечто вроде вихря, пронизывающего кристалл: при обходе вокруг оси дислокации накапливается рассогласование кристаллических решеток на так называемый вектор Бюргерса (при обходе вихря накапливается изменение направления вектора скорости движения частиц). Дислокация, двигаясь под действием напряжения, и деформирует кристалл.  В двумерном кристалле, впрочем, дислокация превращается в точечный дефект — никакой протяженной оси, перпендикулярной пленке, у нее нет.

Согласно теории одиночная дислокация в протяженном кристалле сама собой возникнуть не может — энергия ее рождения растет с ростом размера кристалла и оказывается очень большой. В реальности дислокации получаются в кристалле при его образовании, а затем размножаются под действием напряжения. Таулес и Костерлиц предположили, что могут появляться и свободные дислокации, только не поодиночке, а парами, так, чтобы сумма их векторов Бюргерса равнялась нулю. Энергия такой пары оказывается конечной, и, стало быть, она может возникнуть в результате теплового возбуждения. В общем, получилось, что пленка наполнена газом из парных дислокаций, которые не могут сдвинуться с места, поскольку, имея противоположно направленные вектора Бюргерса, под действием напряжения должны бежать в разные стороны. Для них можно построить термодинамику: посчитать энергию связи в паре и значение энтропии, а затем, приравняв их сумму к нулю, определить, при какой температуре энтропия разорвет связь в паре и по кристаллу пойдут гулять свободные дислокации, снижая его жесткость до состояния жидкости. То есть пройдет фазовое превращение в газе дислокаций. Аналогично поведет себя и двумерная система элементарных магнитов, спины которых расположены в плоскости пленки, — так называемая xy­модель. У них дефектом будет спиновый вихрь — направление спина при обходе его оси поворачивается на угол 2π или –2π. Соответственно можно составить пары из вихрей, наполнить пленку газом таких вихревых образований и построить аналогичную термодинамику; распад пар вихрей в результате фазового превращения здесь приведет к утрате магнетизма. В сверхтекучей жидкости вихри будут самыми настоящими, и она перестанет течь без сопротивления тогда, когда и в ней распадутся пары вихрей. Именно такое не учтенное ранее поведение дефектов и обеспечило тот фазовый переход, который был замечен экспериментаторами. Найденный переход назвали топологическим.

Вот как это объясняли сами будущие лауреаты: «Мы имеем дело с необычным дальним порядком, который базируется на свойствах системы как единого целого и не выражается в виде корреляционной функции двух частиц. Во всех рассмотренных случаях обычная корреляционная функция, как, например, корреляция двух спинов, исчезает при любой отличной от нуля температуре. Этот же тип дальнего порядка, который мы называем топологическим дальним порядком, может существовать в двумерном твердом веществе, нейтральной сверхтекучей жидкости и для ху­-модели, но не для сверхпроводника или изотропной модели Гейзенберга. В случае твердого вещества исчезновение топологического дальнего порядка связано с переходом от упругой реакции на действие малого сдвигающего напряжения к тому, что свойственно жидкости, а для нейтральной сверхтекучей жидкости — с нестабильностью постоянных течений. Недавно Березинский (1971) выдвигал схожие аргументы, но наши результаты имеют важные отличия». 

Вихри в ху­-модели создают сложную картину упорядочения («Frontiers in Physics», 17 января 2014 года; http://dx.doi.org/10.3389/fphy.2013.00035)

Возможно, причиной того, что для обозначения дислокаций, которые все материаловеды называют просто «дефектами», выбрали словосочетание «топологический дефект», сформировавшее всю последующую терминологию в этой области физики твердого тела, было сотрудничество со знаменитым физиком Томом Скирмом, придумавшим топологический солитон, известный сегодня как квазичастица скирмион. Предназначенный для физики элементарных частиц, он прижился и в  физике твердого тела и играет важную роль в спинтронике. Расшифровывается понятие топологического дефекта так: его нельзя получить никакими непрерывными деформациями исходной системы. Скажем, точечный дефект, вроде атома внедрения, деформацией получить можно, а дислокацию — только разрезав исходную решетку и изъяв из нее одну кристаллическую плоскость. Точно так же никакой деформацией нельзя получить вихрь.

Советский след

В научной статье о Березинском говорится коротко, а вот в своем обзоре Костерлиц был менее лаконичен: «Мы с Дэвидом поздравили друг друга с открытием  важной новой физики, но наша эйфория вскоре улетучилась. Нам сообщили, что Березинский годом ранее обсудил превращение в пленке сверхтекучей жидкости, вызванное вихрями. Поскольку никто из нас не знает русского языка (знание русского было необязательно: «Журнал экспериментальной и теоретической физики» переводился и переводится на английский. — Примеч. ред.), мы, к счастью, не подозревали об этой работе, когда создавали базовую теорию превращения, вызванного вихрями. По какой­то неизвестной причине наша работа нашла несравнимо больший отклик, чем работа Березинского».

А что же писал Березинский? Он рассмотрел два случая двумерных систем: классический и квантовый («Журнал экспериментальной и теоретической физики», 1970, 59, 907—920; 1971, 61, 1144—1156) и в обоих нашел признаки фазовых превращений. В квантовом случае он описал конкретный механизм примерно так. При рассмотрении квантовой двумерной системы мы можем обнаружить в ней вихри. Эти вихри можно представить как некий газ частиц, состояние которых определяется зарядом — показателем «вихреватости», который принимает целочисленные положительные и отрицательные значения. Нетрудно посчитать, что при низкой температуре частицы оказываются связанными в нейтральные молекулы — группы вихрей, у которых суммарное значение вихреватости равно нулю. Группы распадаются при повышении температуры, что и составляет суть фазового превращения в такой системе. Называть это топологическим переходом он, правда, не стал и красивую формулу для температуры перехода, подобную той, что вывели Таулес с Костерлицем, не показал. Зато отечественные коллеги спустя некоторое время назвали это БКТ­переходом. Иностранные же первую букву зачастую вычеркивают, как это сделано в пресс­релизе Нобелевского комитета: «Вадим Березинский также отметил важность возбуждения вихрей в ху­модели, но не пришел к выводу, что они могут вызвать фазовое превращение. Далее мы будем называть его КТ­превращение» («Scientific Background on the Nobel Prize in Physics 2016»). К чести самих нобелевских лауреатов 2016 года, они используют правильное название.

То, что В.Л.Березинский не оказался в их числе, не следствие злой воли Нобелевского комитета, поскольку умер в 1980 году, прожив всего 45 лет. За этот срок, однако, он сумел сделать очень много. Вот что написали коллеги Березинского в некрологе («Успехи физических наук», 1981, 133, 3, 553—554): «Его имя останется навсегда в мировой физической литературе прежде всего в связи с решением двух фундаментальной важности проблем: теории фазовых переходов в двумерных системах и теории локализации в неупорядоченных одномерных проводниках. <…> В.Л.Березинский впервые показал, что <…> тонкая (порядка нескольких ангстрем) пленка жидкого гелия при низких температурах обладает свойством сверхтекучести. Двумерные кристаллы, не обладая далеким порядком, имеют конечный модуль сдвига. Двумерные магнетики оказывают сопротивление неоднородному повороту спинов. В.Л.Березинский понял общую природу всех этих явлений и дал им название поперечной жесткости, принятое ныне в мировой литературе. Он показал, что в системах, обладающих поперечной жесткостью, корреляции медленно (степенным образом) спадают с температурой, что и определяет фундаментальные свойства новой низкотемпературной фазы — фазы Березинского. В.Л.Березинский впервые обнаружил важную роль топологических дефектов в этой фазе: вихрей в пленке сверхтекучего Не⁴, дислокаций в двумерном кристалле, вихревых конфигураций в магнетиках. При низких температурах такие дефекты образуют молекулы. При некоторой определенной температуре начинается диссоциация таких молекул, приводящая к разрушению фазы Березинского. Количественный расчет диссоциации дефектных молекул выполнен двумя годами позднее в других работах. Эксперимент на пленке Не⁴ блестяще подтвердил предсказания теории».

Новые и новые фазы

Фазовые переходы в двумерных системах вызвали немалый интерес физиков, и они стали находить их везде — в твердом теле, в трехмерных облаках сверххолодного газа, заключенных в двумерные ловушки, и даже в ранней Вселенной. Выяснились интересные нюансы. Так, мысль о невозможности топологического перехода в сверхпроводнике оказалась ошибочной; именно БКТ­переходу ныне приписывают превращение тонких пленок из сверхпроводящего в диэлектрическое состояние. Механизм тут такой. Тепловое движение вызывает генерацию пар абрикосовских вихрей — сверхпроводящих токов вокруг несверхпроводящего ядра. Собственно, такие вихри и ответственны за разрушение сверхпроводимости. Но при низкой температуре их пары локализованы. А куперовские пары электронов, обеспечивающие сверхпроводимость, — напротив, способны двигаться; это состояние называют стеклом вихрей. При фазовом переходе вихри освобождаются, а электронные пары, застывают, образуя стекло куперовских пар. Между ними может быть промежуточное состояние, когда подвижность и вихрей и куперовских пар ограниченна — тогда получается металлическая проводимость. Такие эффекты наблюдали, например, в тонких пленках оксида индия («Успехи физических наук», 2003, 173, 8, 801—812).

Другие разновидности топологических фаз дали исследования, отмеченные второй половиной Нобелевской премии. Работы того же Дэвида Таулеса и Дункана Холдейна были вызваны желанием объяснить удивительный квантовый эффект Холла (КЭХ): изменение проводимости двумерного электронного газа (он заключен в слоистой гетероструктуре), которое под влиянием магнитного поля идет не непрерывно, а ступеньками. Эффект этот проявляется при очень низкой температуре, и неудивительно, что в конце концов была использована идея о том, что газ электронов превращается в топологическую квантовую жидкость — фазу КЭХ. Она может существовать в нескольких квантовых состояниях, в которые последовательно перескакивает по мере роста магнитного поля. Холдейну удалось установить, что квантовый эффект Холла можно наблюдать и без внешнего магнитного поля, просто в силу внутреннего магнитного упорядочения. Никто ему не верил, да и сам он писал в статье 1988 года («Physical Review Letters», 61, 18, 2015—2018), что вряд ли когда это явление удастся наблюдать. Однако спустя четверть века, в 2013 году, в опытах на тонких пленках интерметаллида (Bi,Sb)₂Te₃ с добавками хрома отчетливая ступенька проявилась на зависимости проводимости от запирающего напряжения.

Холдейну же принадлежит и честь открытия того, что названо фазой Холдейна. Она проявляется в цепочке элементарных магнитов, предложенной Гейзенбергом. При полуцелом спине в такой цепочке наблюдается сильная корреляции в направлениях спинов: они  через один повернуты в противоположные стороны и получается антиферромагнитное упорядочение («анти» — потому что порядок есть, но, в отличие от ферромагнетика, магнетизма нет). А при целом спине порядка нет. Можно, однако, построить цепочку с целыми спинами хитрым образом — попарно объединив соседние частицы. И тогда фазовое превращение получается! Причина в том, что на концах оказываются частицы без соседей; никто их полуцелый спин не компенсирует, и это вызывает топологический фазовый переход, образование фазы Холдейна.

Одно из интереснейших проявлений топологических фаз, подобных фазе Холдейна или фазе КЭХ, — топологический изолятор. Это материал, который в норме не проводит ток, однако при охлаждении в его поверхности формируется двумерная топологическая фаза, в которой проводимость не просто возможна, а очень высока — электроны в ней могут двигаться практически без сопротивления, а некоторые физики говорят, что и вовсе без него, то есть, порождая сверхпроводимость. Более того, недавний расчет исследователей из США, КНР и ФРГ во главе с Чжан Шоучаном  из Стэндфордского университета показал («Physical Review Letters», 2013, 111, 136804; doi: 10.1103/PhysRevLett.111.136804), что на кромке листа станнана (это подобная графену двумерная сетка из атомов олова) топологическая фаза существует даже при нагреве до 100^оС. Если предположения теоретиков подтвердятся, то человечество обретет вожделенную горячую сверхпроводимость — значение этого открытия сопоставимо с открытием электромагнитной индукции.

Вообще,  проявления топологических фаз очень многообразны. Вот что говорится по этому поводу в обзоре «Топологические фазы в квантовой механике и оптике» («Успехи физических наук», 1990, 160, 6, 1—49): «Что общего проявляется в поведении частиц со спином 1/2 в медленно вращающемся магнитном поле, в экспериментах по спиновому резонансу в слабомодулированном магнитном поле, в ядерных квадрупольных резонансных спектрах медленно вращающихся образцов, при прохождении фотонов через спектрально изогнутые оптические световоды, при классификации спектров диатомов и молекул по полуцелым угловым моментам и ротационных полос в последовательности нижайших состояний систем Яна Теллера, в атомах с нечетным числом электронов, находящихся в медленно вращающемся электрическом поле, в квантовом эффекте Холла, в дробном эффекте Холла, в дробной статистике и квантовом эффекте Холла, в статистике вихрей для двумерных суперполей? Что общего имеют все эти эффекты с аномалиями в киральных калибровочных полях и со скирмионами? Знакомство с цитируемыми статьями позволит убедиться читателю, что во всех этих конкретных разнородных работах речь идет о проявлении эффектов топологических фаз. В целом складывается впечатление, что будущие теории, которые могли бы претендовать на общность при описании физических явлений в большом интервале энергий, должны иметь топологический характер».